過去スレ013の656の命題の証明はあまりよくないので改めて述べる。

まず次の補題を用意する。
この補題の証明は過去スレ013の511(樽と半ノルムの関係)の証明と
ほぼ同じである。

補題
E を実数体 R 上の位相線形空間とする。
B を E の空でない閉集合で原点に関して対称で凸とする。
このとき、B = ∩(1 + ε)B である。
ここで、ε ＞ 0 は正の実数全体を動く。

証明
過去スレ008の438より、B は平衡的(過去スレ006の630)である。
すなわち、|λ| ≦ 1 なら λB ⊂ B である。
ε ＞ 0 のとき、1/(1 + ε) ＜ 1 であるから (1/(1 + ε))B ⊂ B である。
よって、B ⊂ (1 + ε)B である。

x を E の元で任意の ε ＞ 0 に対して x ∈ (1 + ε)B とする。
(1/(1 + ε))x ∈ B となる。
ε → 0 のとき 1/(1 + ε) → 1 だから
(1/(1 + ε))x → x となる。
B は閉集合だから x ∈ B である。
よって、∩(1 + ε)B ⊂ B である。

以上から B = ∩(1 + ε)B である。
証明終