命題
G を局所コンパクト群とする。
H を G の格子(>>667)とする。
μ を G の左Haar測度とする。
λ を>>671で定まる G/H 上の G-不変な正値Radon測度とする。
ψ: G → G/H を標準写像とする。
A を G のμ可測な部分集合で、ψ により１対１に ψ(A) に写されるとする。

このとき、μ(A) = μ(ψ(A)) である。

証明
χ_A を A の特性関数とする。
過去スレ013の793より、
μ(A) = ∫^*(Σχ_A(xξ)) dλ(xH) である。
ここで、ξ は H の元全体を動く。

x ∈ G に対して xH ∩ A ≠ φ とする。
xξ ∈ A となる ξ ∈ H がある。
y = xξ とおけば、y ∈ H で xH = yH となる y が一意に定まる。
よって、xξ ∈ A となる ξ ∈ H も一意に定まる。

よって、xH ∈ ψ(A) のとき Σχ_A(xξ) = 1 である。
xH ∈ ψ(A) でないとき Σχ_A(xξ) = 0 である。
よって、Σχ_A(xξ) = χ_ψ(A) である。

よって、μ(A) = ∫^*(Σχ_A(xξ)) dλ(xH) = μ(ψ(A)) である。
証明終