とりあえずx<0 は左辺が整数にならないためない
2^x(1+2^(x+1))=(y+1)(y-1)と変換できる
(y+1)(y-1)は2^xの倍数であり、y+1、y-1どちらか片方は4の倍数ではないので
y+1もしくはy-1どちらかが2^(x-1)の倍数であり、これを正の整数aを使ってa*2^(x-1)とおく
○y-1=a*2^(x-1)の場合
2^x(1+2^(x+1))=(y+1)(y-1)=a*2^(x-1)*(a*2^(x-1)+2)=2^x(a^2*2^(x-2)+a)より
a^2*2^(x-2)+a=1+2^(x+1)、これを解き2^(x-2)(a^2-8)=1-a
b=2^(x-2)(a^2-8)とb=1-aをab平面に書くと正の交点はひとつしかない
a=2のときx=0より(0,-2)(0,2)
○y+1=a*2^(x-1)の場合
2^x(1+2^(x+1))=(y+1)(y-1)=a*2^(x-1)*(a*2^(x-1)-2)=2^x(a^2*2^(x-2)-a)より
a^2*2^(x-2)-a=1+2^(x+1)、これを解き2^(x-2)(a^2-8)=1+a
b=2^(x-2)(a^2-8)とb=1+aをab平面に書くと正の交点はひとつしかない
a=3のときx=4より(4,-23)(4,23)
こたえ(0,-2)(0,2)(4,-23)(4,23)

と考えてみたんですがどうでしょうか
ダウトありますか？