大学の授業でいくら考えても分からない問題があるんですが
そもそも答え方というよりイメージすらわきません。
以下の問いで分かる方いらっしゃったらヒントなり解法なりを
教えていただきたいです・・・
１．Σ[k=0,n]C[n.k]　＝　２^n　を集合論的に証明せよ
２．Σ[k=0,n]C[n.k](-1)^k = 0　を集合論的に証明せよ
３．集合Ａ、Ｂに対して　（ここではβはベキ集合を表しています）
　　(ⅰ)　β(Ａ∩Ｂ)＝β(Ａ)∩β(Ｂ)
　　(ⅱ)　β(Ａ∪Ｂ)⊃β(Ａ)∪β(Ｂ)
　　(ⅲ)　β(Ａ∪Ｂ)＝β(Ａ)∪β(Ｂ)
　　となるのはどのような場合か？(それぞれにおいてです)
４．0^0は１で良いのでしょうか？
５．Ｎ～Ｒ　を考えてみよ（Ｎは自然数の集合　Ｒは実数の集合）
　　　（この問題は質問の意味すらピンときません）
６．任意の濃度αに対して　α＜２^α　∧　α≠２^αを証明せよ
７．無限の濃度が少なくとも加算個存在する事を証明せよ

わからないことだらけですいません。
あと言葉の意味についてなんですが
「選択公理」「台関数」「整列可能定理」「Ｚｏｒｎの補題」
についての質問８つと言葉の意味４つの
どれかしらが分かる方がいらっしゃったらご説明お願いします。