>X=V(F)={P=(a_1,・・・,a_n)|F(P)=0}⊂k^n
>(a_1,・・・,a_n)はXに含まれているとする、

質問に答えるわけじゃないが、

「{P=(a_1,・・・,a_n)|F(P)=0}⊂k^n」 における(a_1,・・・,a_n)は、一般の点を表しているのに対し、
すぐ次の行の
「(a_1,・・・,a_n)はXに含まれているとする」における(a_1,・・・,a_n)はある特殊な一点でしょ。
これを同じ(a_1,・・・,a_n)を用いて書くのはセンス悪すぎ。

こういうのを見ると、曲がりなりにも数学科にいた人とは思えないんだよな。