>>717
x_1-a_1, x_2-a_2, ・・・, x_n-a_n が生成するイデアルとは、

　(*) Σ (g_j)(x_j - a_j)　(g_j はk[x_1,・・・x_n]の元、和はjについて1〜nまで)

の形で書ける元の全体だ。(ただし、(*)の表し方はuniqueではないが)

だから、
(x_1-a_1)（x_2-a_2)・・・(x_n-a_n) なら 「g_1=（x_2-a_2)・・・(x_n-a_n), g_2=g_3=・・・g_n = 0のとき」
(x_1-a_1)+・・・+(x_n-a_n)　なら 「g_1 = g_2 = ・・・ = g_n = 1のとき」
と考えればいずれも(*)の形で書けるので、m_pの元だ。

(x_1-a_1)^2 + (x_2-a_2)^3 だってm_pの元だ。「g_1=x_1-a_1, g_2=(x_2-a_2)^2, g_3以降は0のとき」
とすればいいから。


それにしても、代数幾何をやるなら、
これくらいの環論の基礎は分かってないと何もできないよ。