命題
K を必ずしも可換とは限らない非離散局所コンパクト体とする。
K における mod (>>37, >>38)は一般絶対値(過去スレ006の453)である。
即ち、mod は以下の３条件を満たす。

1) mod(x) = 0 と x = 0 は同値である。

2) K の任意の２元 x, y に対して mod(xy) = mod(x)mod(y)

3) A ＞ 0 があり K の任意の２元 x, y に対して
mod(x + y) ≦ A sup(mod(x), mod(y))

証明
1), 2) は明らかである。

>>88より B_1 = { x ∈ K; mod(x) ≦ 1 } はコンパクトである。
>>82より、mod は連続だから A = sup{mod(1 + x); x ∈ B_1} は有限である。
mod(1) = 1 であるから A ≧ 1 である。
よって、過去スレ006の455より、mod は 3) を満たす。
証明終