命題
G を Hausdorff 位相群とする。
H を G の離散部分群とすると、H は閉集合である。

証明
x を G の元で H の閉包に含まれるとする。
x ∈ H を示せばよい。
H は離散だから G の単位元 e の近傍 W で W ∩ H = {e} となるものがある。
V を e の近傍で V^(-1)V ⊂ W となるものとする。
xV ∩ H の要素の個数は１である。
何故なら、a, b を V の元で xa ∈ H, xb ∈ H とすると、
((xa)^(-1))(xb) = a^(-1)b ∈ V^(-1)V ⊂ W であるから
((xa)^(-1))(xb) ∈ W ∩ H = {e} となり、xa = xb である。

y ∈ xV ∩ H とし、x ≠ y と仮定する。
G は Hausdorff だから e の近傍 U で y が xU に含まれないものがある。
しかし、x は H の閉包に含まれるから x(U ∩ V) ∩ H は空でない。
x(U ∩ V) ∩ H ⊂ xV ∩ H = {y} であるから y ∈ x(U ∩ V) となって矛盾。

よって、x = y であり、 x ∈ H である。
証明終