命題
K を必ずしも可換とは限らない非離散局所コンパクト体とする。
a ∈ K のとき、lim a^n = 0 であるためには mod(a) ＜ 1 が必要十分である。

証明
lim a^n = 0 なら、lim mod(a)^n = 0 である。
このとき、mod(a) ＜ 1 でなければならない。

逆に、mod(a) ＜ 1 とする。
lim mod(a^n) = 0 であるから
任意の ε ＞ 0 に対して、ある整数 m ＞ 0 があり、
n ≧ m なら mod(a^n) ＜ ε である。
よって、>>89の記号で、a^n ∈ B_ε である。
>>89より、これは lim a^n = 0 を意味する。
証明終