命題
K を必ずしも可換とは限らない非離散局所コンパクト体とする。
任意の実数 M ＞ 0 に対して B_M = { x ∈ K; mod(x) ≦ M } は
0 のコンパクト近傍である。

証明
>>82より、mod は連続だから、B_M は 0 の近傍である。

V を 0 の任意のコンパクト近傍とする。
>>86の条件を満たす r ∈ V をとる。
a ∈ B_M - V とする。
lim (r^n)a = 0 であるから (r^n)a ∈ V となる n ＞ 0 がある。
n を (r^n)a ∈ V となる最小の整数 ＞ 0 とする。
(r^n)a ∈ V - rV である。
V - rV の閉包を X とする。
X は 0 を含まないから mod は X 上で最小値 α ＞ 0 をとる。
α ≦ mod((r^n)a) である。
よって、mod(r^(-n)) ≦ mod(a)/α ≦ M/α
mod(r^(-1)) ＞ 1 だから n は a に関係しない有限値以下である。
よって、B_M - V は (r^(-n))V の形の有限個の集合の合併に含まれる。
よって、B_M はコンパクト集合に含まれる。
B_M は閉集合だからコンパクトである。
証明終