命題
K を必ずしも可換とは限らない局所コンパクト体とする。
>>37の関数 mod は連続であり、K の元 a, b に対して
mod(ab) = mod(a) mod(b) となる。

証明
μ を K の Haar 測度とする。
V を 0 のコンパクト近傍とする。

μ(abV) = mod(a)μ(bV) = mod(a)mod(b)μ(V)
一方、
μ(abV) = mod(ab)μ(V)
よって、mod(ab) = mod(a) mod(b) である。

>>79より、mod は K の乗法群 K^* 上で連続である。
よって、mod が 0 で連続なことを証明すればよい。

K の位相が離散のときは明らかだから、離散でないとする。
過去スレ012の538より、μ({0}) = 0 である、
よって、任意の ε ＞ 0 に対して 0 の開近傍 U で μ(U) ＜ ε
となるものがある。
K での積は連続だから、0 のコンパクト近傍 V で VV ⊂ U となるものがある。
a ∈ V のとき、aV ⊂ U だから μ(aV) ≦ μ(U) ＜ ε
μ(aV) = mod(a)μ(V) だから、 mod(a) ＜ ε/μ(V)
証明終