命題
G を局所コンパクト群とする。
Γ を位相群で Γ から G の自己同型群 Aut(G) への準同型 ψ が与えられて
いるとする。
さらに Γ× G の元 (s, x) に ψ(s)(x) ∈ G を対応させる写像は
連続であるとする。
このとき、s に mod(ψ(s)) (過去スレ012の533)を対応させる写像は
連続である。

証明
μ を G の左 Haar 測度とする。
f を K(G, C) の元で、∫ f(x) dμ(x) ≠ 0 とする。
a を Γ の任意の元とする。
s の関数 g(s) = ∫ f(ψ(s)(x)) dμ(x) が a で連続であることを
証明すればよい。

K = Supp(f) とおく。
ψ^(-1)(a)(K) ⊂ U となる開集合で U の閉包がコンパクトなものがある。
Aut(G) に compact-open 位相を入れると、過去スレ012の433より、
ψ は連続である。
よって、Γ の単位元の近傍 V があり、
s ∈ aV のとき、ψ^(-1)(s)(K) ⊂ U

過去スレ012の455より、任意の ε ＞ 0 に対して Γ の単位元の近傍 W があり、
s ∈ aW で、x ∈ U のとき、
|f(ψ(s)(x)) - f(ψ(a)(x))| ＜ ε となる。

∫ f(ψ(s)(x)) dμ(x) = ∫[U] f(sx) dμ(x) である。
よって、s ∈ a(W ∩ V) のとき、
|g(s) - g(a)| ≦ ∫[U] |f(ψ(s)(x)) - f(ψ(a)(x))| dμ(x) ≦ εμ(U)
よって g は a で連続である。
証明終