命題
X を局所コンパクト空間とし、X 上の正値Radon測度全体を M+(X) とする。
Λ: t → λ_t を局所コンパクト空間 T から M+(X) の写像とする。
μ を T 上の正値Radon測度とする。
Λ はスカラー的に本質的μ可積分(>>719)かつ獏連続(>>681)とする。
ν = ∫ λ_t dμ(t) (>>720)とおく。
f を X から [-∞, +∞] への関数でν可積分とする。

このとき、f が λ_t 可積分とならない t の全体を N とすると、
N はμ零集合である。
さらに、関数 t → ∫^* f(x) dλ_t(x) はμ可積分であり、
∫ f(x) dν(x) = ∫ dμ(t) ∫ f(x) dλ_t(x) となる。

証明
f はν可積分であるからν可測かつνに関してσ有限(過去スレ010の465)である。
さらに、∫^* f(x) dν(x) = ∫ f(x) dν(x) ＜ +∞である。
よって、f ≧ 0 のときは本命題は>>769より直ちに得られる。

f が一般のときは、f_1 = sup{f, 0}, f_2 = sup{-f, 0} とおけば、
f = f_1 - f_2 となり、f ≧ 0 の場合に帰着する。
証明終