命題
X を局所コンパクト空間とし、X 上の正値Radon測度全体を M+(X) とする。
Λ: t → λ_t を局所コンパクト空間 T から M+(X) の写像とする。
μ を T 上の正値Radon測度とする。
Λ はスカラー的に本質的μ可積分(>>719)かつ獏連続(>>681)とする。
ν = ∫ λ_t dμ(t) (>>720)とおく。
f を X から [0, +∞] への関数でν可測かつ
νに関してσ有限(過去スレ010の465)とする。

このとき、f が λ_t に関してσ有限とならない t 全体を H とすると、
H はμ零集合である。

証明
過去スレ011の509より、
各 n ≧ 0 に対し f_n: X → [0, ∞] で f = Σf_n となる
関数列 (f_n) で次の条件を満たすものが存在する。

1) f_0 = 0 (ν-a.e.)

2) 各 n ＞ 0 に対してコンパクト集合 K_n があり f_n は K_n で
有界かつ連続であり、K_n の外では 0 となる。

>>738より、B = {t ∈ T; ∫^* f_0(x) dλ_t(x) ≠ 0 } とおくと、
μ(B) = 0 である。
よって、t ∈ T - B のとき、f_0 = 0 ((λ_t)-a.e.) である。
よって、f_0 はλ_t に関してσ有限である。
n ≧ 1 のとき f_n は K_n の外では 0 であるから
f_n はλ_t に関してσ有限である。

よって、t ∈ T - B のとき、f = Σf_n はλ_t に関してσ有限である。
よって、H ⊂ B であるから μ(H) = 0 である。
証明終