命題
X を局所コンパクト空間とし、X 上の正値Radon測度全体を M+(X) とする。
Λ: t → λ_t を局所コンパクト空間 T から M+(X) の写像とする。
μ を T 上の正値Radon測度とする。
Λ はスカラー的に本質的μ可積分(>>719)かつ獏連続(>>681)とする。
ν = ∫ λ_t dμ(t) (>>720)とおく。
f を X から [0, +∞] への関数で、ν可測かつ
νに関してσ有限(過去スレ010の465)とする。

このとき、f がλ_t可測とならない t 全体を H とすると、
H はμ零集合である。

証明
S(f) = {x ∈ X; f(x) ≠ 0} とおく。
f はνに関してσ有限だから、
X のμ-可測な部分集合の列 (E_n), n = 1, 2, ... で
各 n に対して μ(E_n) ＜ +∞ となるものが存在し、
S(f) = ∪{E_n; n = 1, 2, ...} となる。

f はν可測だから、>>745より、
S(f) = N ∪{K_n; n = 1, 2, ...} (直和) となる。
ここで、N はν零集合であり、K_n はコンパクトで f は K_n で連続である。
>>738より、N がλ_t零集合でないような t の集合 B はμ零集合である。
t ∈ T - B のとき、N はλ_t零集合であるから f は N でλ_t可測である。
f は各 K_n で連続であるから f は各 K_n でλ_t可測である。
さらに F はλ_t可測集合 X - S(F) で 0 であるから X - S(f) でλ_t可測である。
よって、過去スレ011の123より、t ∈ T - B のとき、f はλ_t可測である。
よって、H ⊂ B だから H はμ零集合である。
証明終