H を局所コンパクト空間 X に右から固有に作用(>>473)する
局所コンパクト群とする。
任意の x ∈ X に対して、H から X への写像 ξ → xξ を ψ_x とする。
H の X への作用は固有だから定義(>>473)より、
X×H から X×X への写像 h: (y, ξ) → (yξ, y) は固有写像である。
X の任意のコンパクト集合 K に対して、K×{x} はコンパクトだから
h^(-1)(K×{x}) = (ψ_x)^(-1)(K)×{x} はコンパクトである。
よって、(ψ_x)^(-1)(K) はコンパクトとなり、ψ_x は固有写像である。
よって、過去スレ011の768より、H 上の左Haar測度 β に対して
ψ_x は β適正である。
よって、β の ψ_x による像(過去スレ011の765) ψ_x(β) が定義される。
ψ_x(β) の定義(過去スレ011の765)より、
任意の f ∈ K(X, C) に対して ∫ f dψ_x(β) = ∫ f(xξ) dβ(ξ) である。
η を H の任意の元とすると、
∫ f dψ_xη(β) = ∫ f(xηξ) dβ(ξ) = ∫ f(xξ) dβ(ξ)
よって、ψ_xη(β) = ψ_x(β) である。
即ち、ψ_x(β) は x の X/H での類 u = xH できまる。
よって、ψ_x(β) を β_xH または β_u と書く。