命題
G を局所コンパクト群、H をその閉部分群とする。
H がユニモジュラー(過去スレ012の478)で G/H がコンパクトであるとする。

このとき、G はユニモジュラーで、
G/H には G-不変な正値Radon測度 λ ≠ 0 が存在する。
このとき、任意の f ∈ K(G, C) に対して、
∫dλ(xH)∫f(xξ) dβ(ξ) = ∫ f(x) dμ(x)
となる。ここで、β と μ はそれぞれ H と G の左Haar測度である。

証明
Δ_G を G のモジュール(過去スレ012の477)とする。
χ = 1/Δ_G とおく。
H はユニモジュラーであるから、>>556より、G/H 上に乗因子
χ の G-相対不変Radon測度 λ ≠ 0 が存在する。
χ は正の実数値をとるから λ は正値Radon測度である。
G/H はコンパクトであるから、>>668より、χ = 1 である。
即ち、λ は G-不変で、G はユニモジュラーである。

式 ∫dλ(xH)∫f(xξ) dβ(ξ) = ∫ f(x) dμ(x) は、>>556の証明より
明らかである。
証明終