補題
G を位相群で、コンパクト空間 X に左から連続作用しているとする。
λ ≠ 0 を X 上の G-相対不変(過去スレ012の411)な正値Radon測度とする。
このとき、λ は G-不変(過去スレ012の349)である。

証明
任意の s ∈ G に対して、
γ(s)λ(X) = λ(s^(-1)X) = λ(X)
ここで、γ(s)λ は過去スレ012の406で定義したものである。

一方、λ の乗因子(過去スレ012の413)を χ とすると、
γ(s)λ = χ(s)^(-1)λ であるから、
χ(s)^(-1)λ(X) = λ(X)

0 ＜ λ(X) ＜ +∞ であるから、χ = 1 である。
証明終