補題
R を実数体とし、E を R 上の有限次ベクトル空間とする。
E に標準位相(>>275)を与える。
G を E の R-格子(>>659)とすると、E/G はコンパクトである。

証明
>>91より、G は E の閉部分群である。
よって、>>466より、E/G はHausdorffである。
ψ: E → E/G を標準射とする。

e_1, ..., e_n を G の自由アーベル群としての基底とする。
G で生成される E の部分ベクトル空間は E であるから、
e_1, ..., e_n は E の R 上の基底でもある。

[0, 1) を R の区間 {x ∈ R; 0 ≦ x ＜ 1 } とし、
P = {(t_1)e_1 + ... + (t_n)e_n; (t_1, ..., t_n) ∈ [0, 1)^n }
とおく。

[0, 1] を R の区間 {x ∈ R; 0 ≦ x ≦ 1 } とし、
F = {(t_1)e_1 + ... + (t_n)e_n; (t_1, ..., t_n) ∈ [0, 1]^n }
とおく。

>>657の 1) より E の任意の元 x に対して、ある g ∈ G があり、
x ∈ P + g となる。
即ち E = ψ(P) である。
P ⊂ F であるから、E = ψ(F) である。
F はコンパクトであるから、E もコンパクトである。
証明終