>>653の補足
>一方、g が G のすべての元を動くとき P - g 全体は E を覆う、
>よって、Σμ(P ∩ (S + g)) = Σμ((P - g) ∩ S) = μ(S) である。

ここで、次の事実を使っている。
1) E = ∪(P + g), g ∈ G

2) g, h を G の異なる２点とすると、P + g と P + h は共通点を持たない

これらの証明は容易であるが一応述べる。

1) の証明：
x を E の任意の元とする。
e_1, ..., e_n は E の R 上の基底であるから、
x = (t_1)e_1 + ... + (t_n)e_n と書ける。
ここで各 t_i は実数である。

y = [t_1]e_1 + ... + [t_n]e_n とおく。
ここで、各 [t_i] は Gauss の記号、即ち t_i 以下の最大の整数を表す。

x - y = Σ(t_i - [t_i])e_i であり、
各 i に対して 0 ≦ t_i - [t_i] ＜ 1 である。

よって、x - y ∈ P である。
即ち、x ∈ P + y
y ∈ G であるから E = ∪(P + g), g ∈ G である。

(続く)