補題
R を実数体とし、E を R 上の n 次元のベクトル空間とする。
E に標準位相(>>275)を入れて R 上の位相ベクトル空間と考える。
S を E の空でないコンパクト部分集合で S ≠ {0} とする。
p を E の点で S に含まれないとする。
このとき、実数 ε ＞ 0 があり p は (1 + ε)S に含まれない。

証明
E の R 上の基底 e_1, ..., e_n をとる。
E の元 x = (x_1)e_1 + ... + (x_n)e_n に対して x のノルム |x| を
|x| = sup{|x_1|, ..., |x_n|} で定義する。
E はノルム |x| に関してノルム空間となり、その位相は E の標準位相と
同じである。

S はコンパクトで S の元 x に |p - x| を対応させる写像 f は連続だから
f は S で最小値 δ ＞ 0 を持つ。
M = sup{ |x| ; x ∈ S} とおく。
S ≠ {0} だから M ＞ 0 である。

x ∈ S のとき、
|p - (1 + (δ/2M))x| = |p - x - (δ/2M))x| ≧ |p - x| - (δ/2M)|x|
≧ δ - (δ/2M)M = δ/2
よって、ε = δ/2M とおけばよい。
証明終