命題
R を実数体とし、E を R 上の n 次元のベクトル空間とする。
E に標準位相(>>275)を入れて R 上の位相ベクトル空間と考える。
E は局所コンパクトであるから E の加法群の Haar測度 μ が存在する。
G を E の格子(>>649)とする。
S を μ可測な E の部分集合で μ(S) ＞ vol(G, μ) とする。
ここで、vol(G, μ) は G の μ に関する体積(>>651)である。

このとき、S の異なる２点 x, y が存在し、x - y ∈ G となる。

証明
G の異なる２点 g, h で (S + g) ∩ (S + h) ≠ φ となるものが
存在することを示せばよい。
何故なら、このとき x + g = y + h とまる S の元 x, y が存在し、
x - y = h - g ∈ G となるからである。
S + g, g ∈ G が互いに共通点を持たないと仮定して矛盾を導く。

>>648より、G の元の列 e_1, ..., e_n で R 上一次独立なものがあり、
G = Z(e_1) + ... + Z(e_n) となる。
[0, 1) を R の区間 {x ∈ R; 0 ≦ x ＜ 1 } とし、
P = {(t_1)e_1 + ... + (t_n)e_n; (t_1, ..., t_n) ∈ [0, 1)^n }
とおく。

P ⊃ ∪(P ∩ (S + g)), g ∈ G であるから
μ(P) ≧ Σμ(P ∩ (S + g)), g ∈ G
である。
μ は平行移動で不変であるから
g ∈ G のとき、μ(P ∩ (S + g)) = μ((P - g) ∩ S) である。
一方、g が G のすべての元を動くとき P - g 全体は E を覆う、
よって、Σμ(P ∩ (S + g)) = Σμ((P - g) ∩ S) = μ(S) である。
これは、μ(S) ＞ μ(P) に矛盾する。
証明終