命題
R を実数体とし、E を R 上の n 次元のベクトル空間とする。
E に標準位相(>>275)を入れて R 上の位相ベクトル空間と考える。
G を E の格子(>>649)とする。
E は局所コンパクトであるから E の加法群の Haar測度 μ が存在する。
>>648より、G の元の列 e_1, ..., e_r で R 上一次独立なものがあり、
G = Z(e_1) + ... + Z(e_r) となる。
[0, 1) を R の区間 {x ∈ R; 0 ≦ x ＜ 1 } とし、
P = {(t_1)e_1 + ... + (t_r)e_r; (t_1, ..., t_r) ∈ [0, 1)^r }
とおく。

このとき、μ(P) は G と μ のみで決まり e_1, ..., e_r の選び方によらない。

証明
f_1, ..., f_r を G の元の列で R 上一次独立で
G = Z(f_1) + ... + Z(f_r) とする。
P_f = {(t_1)f_1 + ... + (t_r)f_r; (t_1, ..., t_r) ∈ [0, 1)^r }
とおく。
各 i に対して f_i = Σa_(i, j)e_j, j = 1, ..., n と書ける。
ここで a_(i, j) は有理整数である。
行列 A = (a_(i, j)) は可逆でその逆行列 B の各成分は有理整数である。
det(AB) = det(A)det(B) = 1 であるから det(A) = ±1 である。

e_1, ..., e_r を f_1, ..., f_r に写す E の自己同型を ψ とすると、
P_f = ψ(P) である。
よって、μ(P_f) = mod(ψ)μ(P) である(過去スレ012の533)。
一方、>>247より、mod(ψ) = mod(det(A)) = 1 である。
よって、μ(P_f) = μ(P) である。
証明終