命題
R を実数体とし、G を R^n (n ＞ 0) の離散部分群とする。
G の R-階数(>>642)を r とする。
G の元の列 f_1, ..., f_r で R 上一次独立なものがあり、
G = Z(f_1) + ... + Z(f_r) となる。
ここで、Z は有理整数環である。

証明
e_1, ..., e_r を G の元の列で R 上一次独立とする。
>>643より、G は有限生成であり、G ⊂ Qe_1 + ... + Qe_r である。
G の有限個の生成元を x_1, ..., x_m とする。
各 x_i は Qe_1 + ... + Qe_r に含まれるから
d(x_i) ∈ Z(e_1) + ... + Z(e_r), i = 1, 2, ..., m となる
有理整数 d ＞ 0 がある。
dG ⊂ Z(e_1) + ... + Z(e_r) であるから
G ⊂ Z(e_1)/d + ... + Z(e_r)/d である。
M = Z(e_1)/d + ... + Z(e_r)/d とおく。
M は自由アーベル群で dM = Z(e_1) + ... + Z(e_r) ⊂ G ⊂ M である。
M/dM は有限群であるから M/G も有限群である。
よって、過去スレ003の988より、G は r 次の自由アーベル群であり、
その基底 f_1, ..., f_r として、(e_1)/d, ..., (e_r)/d の
有理整数係数の一次結合が取れる。
(e_1)/d, ..., (e_r)/d は R 上一次独立であるから
f_1, ..., f_r も同様である。
証明終