命題
R を実数体とし、G を R^n (n ＞ 0) の離散部分群とする。
G の R-階数(>>642)を r とし、e_1, ..., e_r を G の元の列で
R 上一次独立とする。
このとき、G は有限生成であり、G ⊂ Qe_1 + ... + Qe_r である。
ここで、Q は有理数体を表す。

証明
>>91より、G は R^n の閉部分群である。
[0, 1] を R の区間 {x ∈ R; 0 ≦ x ≦ 1 } とし、
P = {(t_1)e_1 + ... + (t_r)e_r; (t_1, ..., t_r) ∈ [0, 1]^r }
とおく。
P はコンパクトで、P ∩ G は P の閉集合であるから
P ∩ G はコンパクトである。
P ∩ G は離散でもあるから有限集合である。

x を G の任意の元とする。
G の R-階数は r であるから x = (t_1)e_1 + ... + (t_r)e_r
となる実数 t_1, ..., t_r がある。
x - ([t_1]e_1 + ... + [t_r]e_r) = (t_1 - [t_1])e_1 + ... + (t_r - [t_r])e_r
であるから、x - ([t_1]e_1 + ... + [t_r]e_r) ∈ P ∩ G である。
ここで、[t_i] は Gaussの記号、即ち t_i 以下の最大の整数を表す。
e_1, ..., e_r は P ∩ G に含まれるから G は P ∩ G で生成される。
よって、G は有限生成である。

整数 m ＞ 0 に対して z_m = mx - ([m(t_1)]e_1 + ... + [m(t_r)]e_r)
とおく。
z_m ∈ P ∩ G であり P ∩ G は有限集合だから
z_h = z_k となる整数 h ≠ k がある。
よって、(h - k)t_i = [ht_i] - [kt_i], i = 1, 2, ..., r
よって、各 t_i は有理数である。
証明終