命題
N と H を局所コンパクト群とする。
σ を H から N の(位相を考えない)群としての自己同型群への準同型とし、
(x, y) → σ(y)(x) は N×H から N への連続写像とする。
G を N と H の σ による半直積(>>571)とする。
ν を N の右Haar測度とし、λ を H の右Haar測度とする。

このとき、G の左Haar測度は、(Δ_N)(Δ_H)(1/mod(σ))(ν×λ) である。
ここで、Δ_N、Δ_H はそれぞれ N, H のモジュールであり、
mod(σ(x)) は N の自己同型 σ(x) のモジュール(過去スレ012の533)である。

証明
>>608より、ν×λ は G の右Haar測度である。
よって、本命題の主張は >>612と>>613 より明らかである。
証明終