補題
G を局所コンパクト群とし、ν を G の右Haar測度とする。
Δ を G のモジュール(過去スレ012の477)とする。
f を K(G, C) (過去スレ009の21) の任意の元とする。
Δ を G のモジュール(>>477)とする。このとき任意の s ∈ G に対して、

∫ f(sx) dν(x) = Δ(s)∫ f(x) dν(x)

証明
過去スレ012の523より、μ を G 上の左 Haar 測度とすると、
(1/Δ)μ は右 Haar 測度である。
G の右Haar測度は定数倍の違いを除いて一意だから、
ν = (1/Δ)μ と仮定してよい。

∫ f(sx) dν(x)
= ∫ f(sx)(1/Δ(x)) dμ(x)
= Δ(s)∫ f(sx)(1/Δ(sx)) dμ(x)　　← Δ(sx) = Δ(s)Δ(x) より
= Δ(s)∫ f(x)(1/Δ(x)) dμ(x)　　　← μ は左Haar測度だから
= Δ(s)∫ f(x) dν(x)

証明終