命題
N と H を局所コンパクト群とする。
σ を H から N の(位相を考えない)群としての自己同型群への準同型とし、
(x, y) → σ(y)(x) は N×H から N への連続写像とする。
G を N と H の σ による半直積(>>571)とする。
ν を N の右Haar測度とし、λ を H の右Haar測度とする。

このとき、ν×λは G の右Haar測度である。

証明
>>568より、積集合 N×H 上での乗法は
(x, y)(a, b) = (xσ(y)(a), yb) である。

f を K(G, C) (過去スレ009の21) の任意の元とする。
(a, b) ∈ G のとき、過去スレ009の272より、

∫ f((x, y)(a, b)) d(ν×λ)(x, y)
= ∫ f(xσ(y)(a), yb) d(ν×λ)(x, y)
= ∫dλ(y)∫ f(xσ(y)(a), yb) dν(x)
= ∫dλ(y)∫ f(x, yb) dν(x)
= ∫dν(x)∫ f(x, yb) dλ(y)
= ∫dν(x)∫ f(x, y) dλ(y)
= ∫ f(x, y) d(ν×λ)(x, y)

証明終