命題
G を局所コンパクト群、μ を G 上の左 Haar 測度(過去スレ012の351)とする。
G 上の複素Radon測度 θ ≠ 0 が左相対不変であるためには
θ = cχμ となる複素数 c ≠ 0 と G から C^* への連続準同型 χ が
存在することが必要十分である。

証明
>>544より、条件は十分である。

必要性：
θ ≠ 0 を乗因子 χ の左相対不変な複素Radon測度とする。
>>544より、(1/χ)θ は左不変である。
よって、>>540より、(1/χ)θ = cμ となる複素数 c ≠ 0 がある。
よって、任意の f ∈ K(X, C) に対して、
∫ f(x)(1/χ(x)) dθ(x) = c∫ f(x) dμ(x)

この等式の両辺の f を fχ で置き換えれば、
∫ f(x) dθ(x) = c∫ f(x)χ(x) dμ(x)

即ち、θ = cχμ
証明終