命題
G を局所コンパクト空間群とする。
μ を G 上の 左 Haar 測度(過去スレ012の351)とする。
θ を G-左不変(過去スレ012の348)な複素Radon測度とする。

このとき、θ = cμ となる複素数 c がある。

証明
θ_1 = sup(Re(θ), 0)
θ_2 = sup(-Re(θ), 0)
θ_3 = sup(Im(θ), 0)
θ_4 = sup(-Im(θ), 0)
とおけば、
過去スレ009の790より
Re(θ) = θ_1 - θ_2 である。
Im(θ) = θ_3 - θ_4 である。
よって、
θ = (θ_1 - θ_2) + i(θ_3 - θ_4) と書ける。

>>538より、θ_i, i = 1, 2, 3, 4 は G-左不変であるから
左 Haar 測度の定数倍を除いた一意性(過去スレ012の389)より、
θ_i = (a_i)μ, i = 1, 2, 3, 4 となる実数 a_i, i = 1, 2, 3, 4 が
存在する。

θ = ((a_1 - a_2) + i(a_3 - a_4))μ であるから
c = (a_1 - a_2) + i(a_3 - a_4) とおけばよい。
証明終