命題
G を局所コンパクト空間 X に左から連続作用する位相群とする。
μ ≠ 0 を X 上の相対不変(過去スレ012の411)な実Radon測度
(過去スレ009の728)で μ の乗因子(過去スレ012の412)を χ としたとき
χ(G) は正の実数全体 (R^*)+ に含まれるとする。
このとき μ^+ = sup(μ, 0) および μ^- = sup(-μ, 0) も
相対不変で χ を乗因子にもつ。

証明
f ∈ K+(X, R) のとき、過去スレ009の848より
μ^+(f) = sup{ μ(g) | 0 ≦ g ≦ f, g ∈ K+(X, R) }
である。
任意の s ∈ G に対して
μ^+(f)(γ(s)f) = sup{ μ(g) | 0 ≦ g ≦ γ(s)f, g ∈ K(X, R) }
= sup{ μ(γ(s)h) | 0 ≦ γ(s)h ≦ γ(s)f, h ∈ K+(X, R) }
= sup{ χ(s)μ(h) | 0 ≦ h ≦ f, h ∈ K+(X, R) }
= χ(s)μ^+(f)

μ^- も同様である。
証明終