命題
G を局所コンパクト空間 X に左から連続作用する位相群とする。
μ ≠ 0 を X 上の相対不変(過去スレ012の411)な複素Radon測度とする。
このとき μ の共役(過去スレ009の728) μ~ も相対不変である。
さらに、μ の乗因子(過去スレ012の412)を χ とすると
μ~ の乗因子は χの複素共役 χ~ である。

証明
過去スレ012の412より
任意の s ∈ G に対して γ(s)μ = (1/χ(s))μ となる
G 上で定義された複素数値関数 χ が一意に存在する。

γ(s)μ は任意の f ∈ K(X, C) に対して
γ(s)μ(f) = μ(γ(s^(-1))f) で定義される複素Radon測度である。
ここで、γ(s^(-1))f は γ(s^(-1))f(x) = f(sx) で定義される関数である。
即ち、∫ f(x) dγ(s)μ(x) = ∫ f(sx) dμ(x) である。

過去スレ010の35より、f ∈ K(X, C) のとき μ~(f) = (μ(f~))~ である。
ここで、~ は複素共役を表す。

明らかに、(γ(s)f)~ = γ(s)f~ であるから、
γ(s)μ~(f) = μ~(γ(s^(-1))f) = (μ(γ(s^(-1))f~))~
= (γ(s)μ(f~))~ = ((1/χ(s))μ(f~))~ = (1/χ(s)~)μ~(f)
証明終