命題
>>503の条件の下で、μ を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)で
任意の ξ ∈ H に対して
δ(ξ)μ = Δ(ξ)μ
となるものとする。
ここで、δ(ξ)μ と Δ は>>508と同じ意味である。

このとき、K(X, R) の任意の元 f, g に対して
μ(fg^1) = μ(f^1g)
となる。

証明
>>509より、(x, ξ) ∈ X×H に f(xξ)g(x) ∈ R を対応させる写像は
K(X×H, R) に属す。
同様に (x, ξ) ∈ X×H に f(x)g(xξ) ∈ R を対応させる写像は
K(X×H, R) に属す。

∫ fg^1 dμ = ∫ f(x) dμ(x) ∫ g(xξ) dβ(ξ)
= ∫ dβ(ξ) ∫ f(x)g(xξ) dμ(x)　　　← 積分の順序交換(過去スレ010の272)
= ∫ dβ(ξ) ∫ f(xξ^(-1))g(x)(1/Δ(ξ)) dμ(x) ← δ(ξ)μ = Δ(ξ)μより
= ∫ g(x) dμ(x) ∫ f(xξ^(-1))(1/Δ(ξ)) dβ(ξ)　　　← 積分の順序交換
= ∫ g(x) dμ(x) ∫ f(xξ) dβ(ξ)　　　← >>510による
= ∫ f^1g dμ
証明終