命題
H を局所コンパクト空間 X に右から固有に作用(>>473)する
局所コンパクト群とする。
f を K(X, R) (過去スレ007の708) の元とする。
任意の x ∈ X に対して H 上の関数 g: ξ → f(xξ) は K(H, R) の元である。

証明
任意の x ∈ X に対して ξ → xξ は連続だから g は連続である。

S = Supp(f) とおく。
任意の x ∈ X に対して {x} と S はコンパクトであるから
>>482より、K = {ξ ∈ H; {x}ξ ∩ S ≠ φ } = {ξ ∈ H; xξ ∈ S }
はコンパクトである。

ξ ∈ H - K のとき g(ξ) = f(xξ) = 0 である。
よって、Supp(g) ⊂ K よって Supp(g) はコンパクトである。
即ち g ∈ K(H, R) である。
証明終