補題
X と Y を位相空間とし、f: X → Y を連続写像で全射とする。
B を Y の部分集合とする。

このとき、f^(-1)(B~) = (f^(-1)(B))~ である。
ここで、B~、(f^(-1)(B))~ はそれぞれ、B, f^(-1)(B) の閉包を表す。

証明
f^(-1)(B) ⊂ f^(-1)(B~) で、f^(-1)(B~) は閉だから
(f^(-1)(B))~ ⊂ f^(-1)(B~) である。
よって、逆の包含関係を証明すればよい。

x ∈ (f^(-1)(B))~ とする。
x の任意の近傍 V に対して V ∩ f^(-1)(B) ≠ φ である。
よって、f(V) ∩ B ≠ φ である。

f(x) の任意の近傍 W に対して f^(-1)(W) は x の近傍であり、
f は全射だから f(f^(-1)(W)) = W である。
よって、上で述べたことにより、W ∩ B ≠ φ である。
よって、f(x) ∈ B~ である。
よって、x ∈ f^(-1)(B~) である。
証明終