命題
G を局所コンパクト空間 X に固有に作用(>>473)する局所コンパクト群とする。

このとき、軌道空間(過去スレ004の390) X/G は局所コンパクトである。

証明
p: X → X/G を標準射とする。
U を X の開集合とすると p^(-1)(p(U)) = GU である。
一方、s ∈ G のとき x → sx は X の位相自己同型だから sU は開集合である。
よって、GU は開集合である。
よって、p(U) は開集合である。
即ち、p は開写像である。
よって、X の任意の点 x のコンパクト近傍 V に対して p(V) は
x の近傍であり、準コンパクト(過去スレ006の104)である。
よって、X/G が Hausdorff であることを証明すれば良い。
これには、>>463 より X/G を定義する同値関係のグラフ Γ が X×X の
閉集合であることを証明すればよい。

定義(>>473)より、G×X から X×X への写像 f: (s, x) → (sx, x) は固有である。
X×X から X×X への写像 g: (x, y) → (y, x) は位相同型であるから
固有である。
よって、h = gf: (s, x) → (x, sx) は固有である。

X/G を定義する同値関係のグラフ Γ は h(G×X) に等しい。
h は固有だから過去スレ011の781より閉写像である。
よって Γ は閉集合である。
証明終