命題
G を局所コンパクト空間 X に連続作用する局所コンパクト群とする。
X の任意のコンパクト部分集合 K, L に対して、
P(K, L) (>>478) はコンパクトであるとする。

このとき G は X に固有に作用(>>473)する。

証明
G×X から X×X への写像 h: (s, x) → (x, sx) は連続である。
X の任意のコンパクト部分集合 K, L に対して、K×L はコンパクトであり、
h^(-1)(K×L) ⊂ P(K, L)×K である。
h^(-1)(K×L) はコンパクトな P(K, L)×K の閉集合であるから
コンパクトである。
X×X の任意のコンパクト集合 C は K×L の形の集合に含まれる
(>>475の証明参照)から、h^(-1)(C) ⊂ h^(-1)(K×L) はコンパクトである。
よって、h は固有である。

X×X から X×X への写像 g: (x, y) → (y, x) は位相同型であるから
固有である。
よって、G×X から X×X への写像 gh: (s, x) → (sx, x) は固有である。
よって、G は X に固有に作用する。
証明終