命題
f: X → Y を局所コンパクト空間 X から局所コンパクト空間 Y への
固有写像(過去スレ011の767)とする。
Z を任意の局所コンパクト空間とすると、
X×Z から Y×Z への写像 g: (x, z) → (f(x), z) は固有である。

証明
明らかに g は連続である。
C を Y×Z の任意のコンパクト集合とする。
C の Y への射影を K とし、Z への射影を L とする。
K と L はそれぞれコンパクトであり、C ⊂ K×L である。
g^(-1)(K×L) = f^(-1)(K)×L であり、f^(-1)(K) はコンパクトであるから
g^(-1)(K×L) はコンパクトである。
g^(-1)(C) は閉集合で g^(-1)(C) ⊂ g^(-1)(K×L) であるから
コンパクトである。
よって、g は固有である。
証明終