補題
X と Y を位相空間とする。
f: X → Y を連続な開写像で全射とする。
X の同値関係 R を f(x) = f(y) のとき x と y は同値として定義する。
X/R を X の R による商空間とする。

このとき Y は X/R と標準的に同一視され、
f は標準射 X → X/R と同一視される。

証明
π : X → X/R を標準射とする。
π(x) に f(x) を対応させることにより写像 g: X/R → Y が得られる。
g は明らかに全単射である。
g が位相同型であることを証明すればよい。

f: X → Y は π : X → X/R と g: X/R → Y の結合である。
Y の開集合 U に対して π^(-1)(g^(-1)(U)) = f^(-1)(U) であり、
f^(-1)(U) は開集合であるから g^(-1)(U) は開集合である。
よって、 g は連続である。

他方、W を X/R の開集合とすると、W = π(π^(-1)(W)) であるから
g(W) = gπ(π^(-1)(W)) = f(π^(-1)(W)) となる。
π^(-1)(W) は開集合で f は開写像だから g(W) = f(π^(-1)(W)) は
開集合である。
よって、g は開写像である。

以上から g は位相同型である。
証明終