補題
X を位相空間とし R を X における同値関係とする。
X/R を X の R による同値類の集合とし、X/R には商位相を入れる。
R のグラフ Γ = { (x, y) ∈ X×X; x と y は R で同値 } が
X×X の閉集合で標準射 f: X → X/R が開写像なら
X/R は Hausdorff である。

証明
明らかに g = f×f : X×X → (X/R)×(X/R) は連続かつ開写像である。
g(Γ) は (X/R)×(X/R) の対角集合である。
よって、g(Γ) が閉集合であることを証明すればよい。

明らかに Γ = g^(-1)(g(Γ)) である。
よって、X×X - Γ = g^(-1)((X/R)×(X/R) - g(Γ)) である。
g は全射だから g(X×X - Γ) = (X/R)×(X/R) - g(Γ) であり、
g は開写像で、X×X - Γ は開集合であるから、
(X/R)×(X/R) - g(Γ) は開集合である。
よって、g(Γ) は閉集合である。
証明終