命題
K を非アルキメデス的局所体(>>363)とする。
その中心 F も非アルキメデス的局所体である。
K は F 上有限次である。

証明
K の標数が 0 のときはこの命題は>>437から直ちに得られるが、
ここでは K の標数が p ＞ 0 のときも含めて証明する。

>>435より、F は K の閉集合だから局所コンパクトである。
F の位相が離散でないことを示せば F は非アルキメデス的局所体となり、
>>107より、K は Z 上有限次である。

R を K の最大コンパクト部分環(>>366)とし、
P をその唯一の極大両側イデアル(>>364)とする。

>>452より、K の乗法群 K^* の部分群 Γ で (R/P)^* の完全代表系と
なるものが存在する。
>>413より、任意の x ∈ K は Σ(a_i)π^i, i ≧ n, a_i ∈ Γ ∪ {0} と
一意に表される。

>>457より、K の素元(>>392) π で πΓ = Γπ となるものが存在する。
πΓπ^(-1) = Γ であるから x → πxπ^(-1) は Γ の自己同型 ψ を
引き起こす。
Γ は有限群だから ψ^n = 1 となる n ≧ 1 がある。
このとき、π^n は Γ の各元と可換である。
上の任意の x ∈ K の展開から π^n は x と可換である。
よって、π^n ∈ F である。
よって、α = π^n とおくと、任意の整数 m ＞ 0 に対して α^m ∈ F である。
m → +∞ のとき α^m → 0 となるから、F の位相は離散ではない。
証明終