命題
F を有限体とし、その元の数を q とする。
K を F の n 次の拡大体とする。
拡大体 K/F の自己同型群を Aut(K/F) とする。
x ∈ K のとき ψ(x) = x^q とおく。
Aut(K/F) は ψ で生成される位数 n の巡回群である。

証明
ψ が K の自己同型となることは良く知られている。
x ∈ F のとき x^q = x であるから ψ ∈ Aut(K/F) である。
K の元の個数は q^n であるから、x ∈ K のとき x^(q^n) = x である。
よって、ψ^n = 1 である。

m を 1 ≦ m ＜ n となる整数とする。
多項式 X^(q^m) - X は K において高々 q^m 個の解しか持たない。
従って K の全ての元 x に対して x^(q^m) = x となることはない。
よって、ψ^m ≠ 1 である。
即ち、ψ の位数は n である。

一方、>>441より、K の乗法群 K^* は巡回群であるから、生成元 θ を持つ。
このとき、 K = F(θ) である。
従って、θ の F 上の最小多項式を f(X) とすると、f(X) の次数は n である。
σ ∈ Aut(K/F) は σ(θ) で決定されるが、σ(θ) は f(X) の根であるから
Aut(K/F) の元の個数は高々 n 個しかない。
よって、 Aut(K/F) は ψ で生成される位数 n の巡回群である。
証明終