命題
A を可換環とし、A[[X]] を A 係数の１変数形式的べき級数環とする。
f と g を A[[X]] の元とする。

ord(fg) ≧ ord(f) + ord(g) である。

A が整域のときは、
ord(fg) = ord(f) + ord(g) である。

証明
f = 0 または g = 0 の場合は、明らかである。
よって、f ≠ 0 かつ g ≠ 0 と仮定する。

f = (a_n)X^n + (a_(n+1))X^(n+1) + ...
a_n ≠ 0

g = (b_m)X^m + (b_(m+1))X^(m+1) + ...
b_m ≠ 0
とする。

fg = (a_n)(b_m)X^(n+m) + ((a_(n+1))(b_m) + (a_n)(b_(m+1)))X^(n+m+1) + ...

よって、ord(fg) ≧ n + m である。

A が整域なら、(a_n)(b_m) ≠ 0 であるから、
よって、ord(fg) = n + m である。
証明終