補題
G を有限群とする。
a と b を G の元で ab = ba とする。
a の位数 n と b の位数 m が互いに素であれば、
ab の位数は nm である。

証明
(ab)^(nm) = a^(nm)b^(nm) = 1 である。

(ab)^k = 1 とする。
(ab)^(kn) = b^(kn) = 1 であるから kn は m で割れる。
n と m は互いに素であるから k は m で割れる。

同様に
(ab)^(km) = a^(km) = 1 であるから km は n で割れる。
n と m は互いに素であるから k は n で割れる。

よって、k は nm で割れる。
即ち ab の位数は nm である。
証明終