命題
K を可換体とする。
K の乗法群 K^* の任意の有限部分群は巡回群である。

証明
G を K^* の有限部分群とし、その位数を n とする。
d ＞ 0 を n の約数としたとき、位数 d の G の元の個数を f(d) とする。
f(d) が 0 でなければ位数 d の G の元 a がある。
1, a, ..., a^(d-1) は方程式 X^d = 1 の相異なる根であるから、
f(d) = φ(d) である。ここでφ(n)はEulerの関数である。

一方、
n = Σf(d)
n = Σφ(d)
である。
ここで Σ は n の約数 d ＞ 0 全体をわたる。

よって、上に述べたことより、
n のすべての約数 d ＞ 0 で f(d) = φ(d) でなければならない。
特に f(n) = φ(n) である。
よって、G には位数 n の元がある。
即ち G は巡回群である。
証明終