命題
標数 0 の非アルキメデス的局所体(>>363) K は p進体上の有限次代数である。

証明
K の素体は有理数体 Q と同型であるから Q と同一視することにする。
K の中心 Z は>>435より閉集合であるから Q の閉包は Z に含まれる。

K の mod は非アルキメデス的絶対値(過去スレ006の448)である。
R を K の最大コンパクト部分環(>>366)とし、
P をその唯一の極大両側イデアル(>>364)とする。
>>368より、R/P は(可換な)有限体である。
R/P の標数を p とする。
p・1 ∈ P であるから mod(p・1) ＜ 1 である。
よって、mod の Q への制限は非自明な非アルキメデス的絶対値である。
よって、過去スレ006の469より、これは Q の p進絶対値と同値である。
よって Q の K における閉包は p進体 Q_p である。

最初に述べたように Q_p は Z に含まれるから K は Q_p 上の代数である。
従って、K は Q_p 上の局所コンパクトな位相ベクトル空間であるから
>>107より、Q_p 上有限次である。
証明終