命題
標数 p ＞ 0 の可換な局所体(>>362)は有限体を係数とする
１変数形式的べき級数体(>>66)と位相体として同型である。

証明
K を標数 p ＞ 0 の可換な局所体とする。
集合 {n・1 ; n は有理整数 n ＞ 0 全体} は K の素体に含まれるから
有限集合である。
従って、集合 {mod(n・1) ; n は有理整数 n ＞ 0 全体} は有界となり、
K は非アルキメデス的(>>363)である。

R を K の最大コンパクト部分環(>>366)とし、
P をその唯一の極大両側イデアル(>>364)とする。
π を K の素元(>>392)とする。

>>430より、R は完備な離散付値環(過去スレ001の645)である。
R/P の元の個数を q とする。
R/P の標数は p であるから q は p のベキである。
R/P の乗法群は位数 q - 1 の有限群であるから、
任意の R/P の元 α ≠ 0 に対して α^(q-1) = 1 となる。
即ち、α^q = α となる。
よって、R/P においては、多項式 X^q - X は相異なる１次式の積に
完全に分解される。
よって、>>427より、多項式 X^q - X は K においても
相異なる１次式の積に完全に分解される。
この根の全体を F とする。
x → x^q は K から K^q への自己同型であるから
F = {x ∈ K; x^q = x} は K の部分体である。
(続く)