命題
A をフィルター環(>>414)とする。
A の任意の元 a の基本近傍系を (a + I_n), n = 0, 1, ... として
A に位相を入れる。
この位相により A は位相環(過去スレ006の189)になる。

証明
>>419より、A の加法群は位相群になる。

a, b を A の元とする。
任意の n に対して
(a + I_n)(b + I_n) ⊂ ab + I_n + I_n + (I_n)(I_n) ⊂ ab + I_n
よって、(a, b) → ab は連続である。
よって、A は位相環である。
証明終