命題(展開定理)
K を非アルキメデス的局所体(>>363)とする。
R を K の最大コンパクト部分環(>>366)とし、
P をその唯一の極大両側イデアル(>>364)とする。
π を K の素元(>>392)とする。
Γ を R/P の剰余類の完全代表系とする。

任意の x ∈ K は Σ(a_i)π^i, i ≧ n, a_i ∈ Γと一意に表される。
ここで n はある整数(負も可能)。

証明
ord(x) ≧ n とする。x を x(π^(-n)) で置き換えることにより、
n = 0、即ち x ∈ R と仮定してよい。

仮定より、x ≡ a_0 (mod Rπ) となる a_0 が一意に存在する。
よって、 (x - a_0)(π^(-1)) ∈ R である。
よって、(x - a_0)(π^(-1)) ≡ a_1 (mod Rπ) となる a_1 が一意に存在する。
即ち、x ≡ a_0 + (a_1)π mod(Rπ^2) となる a_1 ∈ Γ が一意に存在する。

これを、続けて(厳密には数学的帰納法により)、
任意の整数 n ≧ 0 に対して
x ≡ a_0 + (a_1)π + ... + (a_n)π^n mod(Rπ^(n+1)) となる
Γ の元 a_0, a_1, ..., a_n が一意に存在する。

これから命題の主張が直ちに得られる。
証明終