命題
K を非アルキメデス的局所体(>>363)とする。
(x_n), n = 1, 2, ... を k の元の列とする。
lim x_n = 0 なら Σx_n は可換収束(過去スレ006の186)する。

証明
lim x_n = 0 だから、任意の ε ＞ 0 に対してある整数 n_0 ＞ 0 があり、
n ≧ n_0 のとき mod(x_n) ＜ ε である。

N = {1, 2, ...} を自然数全体とし、J = {1, 2, ... , n_0} とする。
J と交わらない N の任意の有限部分 K に対して
s_K =Σx_n, n ∈ K とおくと、mod は非アルキメデス絶対値(過去スレ006の448)
であるから
mod(s_K) ≦ mod(sup{x_n; n ∈ K}) ＜ ε

よって、(x_n), n = 1, 2, ... は Cauchy の判定条件(過去スレ006の153)を
満たす。
過去スレ006の412より、K の加法群は位相群として完備だから
過去スレ006の158より、(x_n), n = 1, 2, ... は 総和可能(過去スレ006の147)
である。
よって、過去スレ006の187より、Σx_n は可換収束する。
証明終